电路基础 再学习 P2

正弦稳态电路

相量法及其两种表示

正弦稳态电路中的所有电压和电流都以同一角频率变化。设时域信号采用余弦形式

$$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$$

使用有效值表示时，其相量写为

$$\dot U=U\angle\varphi$$

相量有极坐标形式和直角坐标形式两种表示：

$$\dot U=U\angle\varphi$$

$$\dot U=U(\cos\varphi+j\sin\varphi)=U_x+jU_y$$

两种形式之间的转换关系为

$$U=\sqrt{U_x^2+U_y^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{U_y}{U_x}$$

实际计算中，乘除法更适合使用极坐标形式，加减法更适合使用直角坐标形式。相量只保留幅值和相位，不包含公共的时间因子 $e^{j\omega t}$。

在相量域中，微分运算对应乘以 $j\omega$，积分运算对应除以 $j\omega$：

$$\frac{d}{dt}\longleftrightarrow j\omega$$

这使得正弦稳态电路中的微分方程可以转化为代数方程，但相量法只能用于正弦稳态，不能直接描述开关瞬间和暂态过程。

阻抗与导纳

阻抗描述正弦稳态下电压相量与电流相量之间的关系：

$$Z=\frac{\dot U}{\dot I}$$

常见元件的阻抗为

$$Z_R=R$$

$$Z_L=j\omega L$$

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

导纳是阻抗的倒数：

$$Y=\frac{1}{Z}=G+jB$$

其中，$G$ 是电导，$B$ 是电纳。串联电路中阻抗直接相加：

$$Z_{\text{串}}=Z_1+Z_2+\cdots+Z_n$$

并联电路中导纳直接相加：

$$Y_{\text{并}}=Y_1+Y_2+\cdots+Y_n$$

阻抗的实部反映电阻性消耗，虚部反映储能元件造成的相位变化。电感的阻抗虚部为正，电容的阻抗虚部为负；导纳中的电纳符号也具有对应的相位含义。

正弦稳态电路的功率（四个）

正弦稳态下，若电压和电流均采用有效值相量，复功率定义为

$$\dot S=\dot U\dot I^*=P+jQ$$

其中，$\dot I^*$ 表示电流相量的共轭。复功率的实部是有功功率：

$$P=UI\cos\varphi$$

有功功率代表一个周期内实际转化为热能、机械能或其他不可逆能量的部分，单位为瓦。

复功率的虚部是无功功率：

$$Q=UI\sin\varphi$$

无功功率描述电感、电容与电源之间周期性交换的能量，单位为乏。按照通常的约定，感性负载的 $Q>0$，容性负载的 $Q<0$。

视在功率定义为

$$S=UI=|\dot S|=\sqrt{P^2+Q^2}$$

单位为伏安，表示供电系统需要承担的电压电流容量。

第四个常用量是功率因数：

$$\lambda=\frac{P}{S}=|\cos\varphi|$$

在没有特殊说明时，功率因数通常取非负值；如果还要区分超前或滞后，则需要另外说明负载是容性还是感性。

复功率满足守恒关系。对于同一电路，所有元件复功率的代数和为零：

$$\sum_k\dot S_k=0$$

这里的符号依赖于功率参考方向。功率因数校正的本质，是通过补偿无功功率减小电源端看到的无功分量，从而降低视在功率和线路电流，而不是凭空减少负载消耗的有功功率。

互感耦合电路

当两个线圈之间存在磁场耦合时，一个线圈中的电流变化会在另一个线圈中产生感应电压。设两个线圈的自感分别为 $L_1$ 和 $L_2$，互感为 $M$，则

$$M=k\sqrt{L_1L_2},\qquad 0\leq k\leq 1$$

其中 $k$ 是耦合系数。

互感电压的正负由同名端、参考电流方向和参考电压极性共同决定。若某电流流入一个线圈的同名端，它在另一个线圈同名端产生的感应电压极性，按照同名端规则判断。采用相量表示后，互感项通常表现为 $\pm j\omega M$。

两个耦合线圈的电压方程可以写成带符号的形式

$$\dot U_1=j\omega L_1\dot I_1\pm j\omega M\dot I_2$$

$$\dot U_2=j\omega L_2\dot I_2\pm j\omega M\dot I_1$$

两个式子中的正负号不能脱离参考方向单独记忆。最稳妥的做法是先标出同名端，再根据电流进入或离开同名端的关系确定互感项符号。

互感电路的能量不能超过由两个自感决定的范围，因此必须满足

$$M^2\leq L_1L_2$$

互感的存在会改变等效电感、输入阻抗和功率传输关系，是分析变压器和耦合谐振电路的基础。

理想变压器

理想变压器不考虑线圈电阻、漏磁、铁芯损耗和励磁电流。设原边和副边匝数分别为 $N_1$ 和 $N_2$，匝数比为

$$n=\frac{N_1}{N_2}$$

在同名端极性一致的参考方向下，电压满足

$$\frac{\dot U_1}{\dot U_2}=\frac{N_1}{N_2}=n$$

电流满足反比关系。若两端电流都取流入同名端为正，则

$$\frac{\dot I_1}{\dot I_2}=-\frac{N_2}{N_1}=-\frac{1}{n}$$

负号体现理想变压器两侧的功率方向约定。理想变压器不消耗有功功率，因此

$$\dot U_1\dot I_1^*+\dot U_2\dot I_2^*=0$$

负载阻抗从副边折算到原边时为

$$Z_{\text{in}}=n^2Z_L$$

变压器的本质不是简单地“升高或降低电压”，而是通过匝数比改变电压、电流和阻抗之间的比例关系。实际变压器还会受到绕组电阻、漏感、铁芯损耗和频率范围等因素影响。

谐振电路

串联谐振电路

串联电阻、电感和电容的总阻抗为

$$Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$$

当电感和电容的电抗相互抵消时，电路发生串联谐振：

$$\omega_0L-\frac{1}{\omega_0C}=0$$

因此

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

谐振时总阻抗为纯电阻，电路电流幅值达到最大，功率因数为一。电感和电容两端的电压可能远大于电源电压，这种现象称为电压谐振或电压放大。

串联谐振电路的品质因数常写为

$$Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}$$

品质因数越大，谐振曲线越尖锐，选择性越强，但电抗元件两端的电压也可能越高。对于串联谐振电路，半功率带宽与电阻有关，理想近似下有

$$\Delta\omega=\frac{R}{L}$$

谐振频率、品质因数和带宽分别描述谐振位置、曲线尖锐程度和有效频率范围，三者不能混为同一个概念。

并联谐振电路

并联电路更适合使用导纳分析。以电阻、电感和电容并联为例，总导纳为

$$Y=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$$

并联谐振的条件是总导纳虚部为零：

$$\operatorname{Im}(Y)=0$$

在理想并联谐振电路中，输入阻抗达到最大，电源提供的电流达到最小；但电感支路和电容支路之间仍然可能存在较大的循环电流，因此不能简单地认为谐振时所有支路电流都为零。

串联谐振通常表现为总阻抗最小、总电流最大；并联谐振通常表现为总阻抗最大、总电流最小。这种对偶关系来自阻抗和导纳的互换，而不是来自“电感和电容抵消后电路什么都没有”。

复杂并联谐振的理解

对于包含多个电阻、电感、电容或耦合支路的并联网络，不能机械地使用

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

因为网络的等效电感、电容和损耗可能随拓扑结构发生变化。更一般的判断方法是先写出输入导纳

$$Y_{\text{in}}(j\omega)=G(\omega)+jB(\omega)$$

再令

$$B(\omega_0)=0$$

求出谐振角频率。此时实部 $G(\omega_0)$ 决定损耗和输入电流的大小，虚部为零只说明储能性质在输入端相互抵消。

复杂网络可能存在多个谐振频率，也可能出现反谐振、局部支路电流很大但输入电流很小等情况。因此判断谐振时，必须先明确观察的是输入阻抗、输入导纳、某一支路电流，还是某个端口的电压响应。不同观察量对应的峰值或谷值不一定出现在同一个频率。

二端口电路

一端口电路

一端口电路只有一个端口，外部网络通过这一对端子与它交换能量。其行为可以由端口电压和端口电流之间的关系描述：

$$f(u,i)=0$$

对于线性一端口，端口关系通常是一次关系；对于含有独立源的网络，关系中可能包含常数项。戴维南等效和诺顿等效本质上都是对一端口伏安关系的不同表达。

一端口的分析重点是端口行为，而不是内部结构。只要端口伏安关系相同，外部连接负载后得到的响应就相同。

二端口电路的参数方程

二端口电路有两个端口，分别记为端口一和端口二。为了统一参数方程，通常规定两个端口电流都流入网络，并分别定义端口电压 $u_1$、$u_2$ 和端口电流 $i_1$、$i_2$。不同参数形式的主要区别，是选取哪两个变量作为自变量。

二端口参数的价值在于把复杂内部网络压缩为端口变量之间的关系。多个二端口级联时，还可以通过矩阵运算分析整体响应。

Z、Y、H、A 参数方程和参数计算

Z 参数

阻抗参数以两个端口电流为自变量，以两个端口电压为因变量：

$$\begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_{11}&z_{12}\\ z_{21}&z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1\\ i_2 \end{bmatrix}$$

各参数通过端口开路条件求得：

$$z_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{i_2=0},\qquad z_{12}=\left.\frac{u_1}{i_2}\right|_{i_1=0}$$

$$z_{21}=\left.\frac{u_2}{i_1}\right|_{i_2=0},\qquad z_{22}=\left.\frac{u_2}{i_2}\right|_{i_1=0}$$

因此，$z_{11}$ 和 $z_{22}$ 是输入阻抗，$z_{12}$ 和 $z_{21}$ 是传输阻抗。若二端口互易，则有 $z_{12}=z_{21}$。

Y 参数

导纳参数以两个端口电压为自变量，以两个端口电流为因变量：

$$\begin{bmatrix} i_1\\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{11}&y_{12}\\ y_{21}&y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix}$$

各参数通过端口短路条件求得：

$$y_{11}=\left.\frac{i_1}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{12}=\left.\frac{i_1}{u_2}\right|_{u_1=0}$$

$$y_{21}=\left.\frac{i_2}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{u_1=0}$$

Y 参数特别适合分析并联连接的二端口网络。若 $Z$ 矩阵可逆，则

$$\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Z}^{-1}$$

对于

$$\Delta_z=z_{11}z_{22}-z_{12}z_{21}$$

有

$$\boldsymbol{Y}=\frac{1}{\Delta_z} \begin{bmatrix} z_{22}&-z_{12}\\ -z_{21}&z_{11} \end{bmatrix}$$

H 参数

混合参数以 $i_1$ 和 $u_2$ 为自变量，以 $u_1$ 和 $i_2$ 为因变量：

$$\begin{bmatrix} u_1\\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1\\ u_2 \end{bmatrix}$$

各参数的计算条件为

$$h_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{u_2=0},\qquad h_{12}=\left.\frac{u_1}{u_2}\right|_{i_1=0}$$

$$h_{21}=\left.\frac{i_2}{i_1}\right|_{u_2=0},\qquad h_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{i_1=0}$$

H 参数中，$h_{11}$ 具有阻抗量纲，$h_{22}$ 具有导纳量纲，$h_{12}$ 和 $h_{21}$ 通常为无量纲。它适合描述输入端采用电流变量、输出端采用电压变量的混合关系。

A 参数

传输参数常写成

$$\begin{bmatrix} u_1\\ i_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2\\ -i_2 \end{bmatrix}$$

这里在第二个端口使用 $-i_2$，是因为两个端口电流都规定为流入网络，而级联分析时前一级的输出电流方向与后一级的输入电流方向相反。

各参数可以通过以下条件求得：

$$A=\left.\frac{u_1}{u_2}\right|_{i_2=0},\qquad B=\left.\frac{u_1}{-i_2}\right|_{u_2=0}$$

$$C=\left.\frac{i_1}{u_2}\right|_{i_2=0},\qquad D=\left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{u_2=0}$$

A 参数最重要的特点是级联方便。若两个二端口依次级联，其整体传输矩阵等于各自传输矩阵按级联顺序相乘：

$$\boldsymbol{A}_{\text{总}}=\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\cdots\boldsymbol{A}_n$$

在当前参考方向下，互易二端口满足

$$AD-BC=1$$

对称二端口还会满足额外的参数关系。不同教材可能对第二端口电流采用流入网络或流出网络的不同约定，因此在使用参数方程时，必须先确认电流方向；不能直接把不同约定下的矩阵混合使用。

结语

电路基础中的各种定理和公式并不是彼此孤立的记忆点。基尔霍夫定律提供基本约束，元件模型提供伏安关系，等效定理负责压缩端口行为，动态电路研究储能元件带来的时间变化，正弦稳态电路则用相量把微分关系转化为代数关系。谐振、互感、变压器和二端口电路，都是在这些基础关系之上的进一步组织。

重新学习的过程，重点不只是记住某个公式，而是知道公式描述了什么、在什么条件下成立，以及它与其他模型之间如何转换。只有这些关系能够连起来，电路分析才不会变成孤立的公式套用。