电路基础 再学习 P1

关于为什么要写

因为自己在暑假的过程中一直在准备考研，基础电路 / 电路原理这一部分的知识点算是掌握得比较好，所以开一篇文章把它们重新整理一遍。如果能帮到你，是我的荣幸。

前情提要

笔者自己在学习的过程中会省掉很多内容。比方说最基础的参考方向、电压电流定义等，因为本质上也是在复习，有些相对来说不是很重要的内容就会进行选择性的省略。建议不要完全遵从我撰写的知识点来进行阅读，而是和课本结合起来，按照自己的学习目标取舍。

这篇文章默认读者已经熟悉微积分、线性代数和高中物理基础，因此重点放在电路理论中的规律、模型、公式和它们之间的联系。全文使用统一的参考方向和符号约定：如果没有特别说明，电压和电流采用关联参考方向，此时元件吸收的功率写成

$$p(t)=u(t)i(t)$$

主要参考书籍如下：

西安电子科技大学出版社 《电路基础 第四版》 主编王松林 北京大学出版社 《硬十 无源器件篇》 高等教育出版社 《电路 第六版》 主编邱关源

写着写着发现写太长了，分成 两P 来写。

电路的基本规律

笔者在复习的过程中，发现如果要准确的表示出自己所理解的东西，最基本最基本的东西还是要讲一讲的。当然诸如安培定律这样最基本的东西基本上就不讲的很细很细了（其实从道理上来说讲不细，特指在 电路原理 / 电路基础 这门课当中）

说起基础，果然还得回归“那个东西”……

电路图

要搞清楚什么是 电路图，首先要搞清楚什么是 图。注意，这里的图不是指我们看到的图片，而是一种数学模型。有些人可能对这个概念有点陌生，有些人可能对这个概念比较熟悉，而我想对你们说的是，其实你们很早之前就知道这个概念了，只不过现在我们借助了一些数学工具，将其进行了抽象。请看接下来的内容

维基百科对 图 给出的定义是：

在离散数学中，图是用于表示物体与物体之间存在某种关系的结构，数学抽象后的“物体”称作 节点 或者 顶点，节点间的相关关系则称作 边。在描绘一张图的时候，通常用一组点或小圆圈表示节点，其间的边则使用直线或者曲线。

上面是一张图的概览，但是为什么要知道这个呢？因为在后续的学习中，学的类似于节点电压法、回路电流法需要熟悉这个概念（这是最直接的应用了，但是我并不会讲这两块的内容，因为太简单了），而在一开始把这个东西讲清楚，有利于我们后续的学习。

熟悉了 图，我们再将我们现在要用的 电路图 与 图 进行一个结合。

我们在图上，边的位置，放上我们较为熟悉的电阻、电容、电感、电源的元件，这就变成了我们的电路图。这时，我们刚刚说的 边 的概念，在电路当中就称为 支路，而 节点 仍被称为 节点。在图中，从某一节点出发，连续地经过一些支路与节点（只能各经过一次），到达另一节点，就构成 路径，如果路径的最后到达点就是出发点，则称这样的闭合路径为 回路。

原先的图，在电路当中常被称为 拓扑图，由于在图论当中也被称为图，所以常规而言，你也可以直接称其为 图。而有电路元件的图，称为 电路图。

拓扑图，简单来说就是图形可以做弹性运动，其各线段可以随意伸长、缩短、弯曲、拉直等，但图形的连接关系不变。

基尔霍夫定律

这是祖师爷传给你的基本功，不要瞧不起他，基本功真的很好用。

从应用角度来说，基尔霍夫定律是用来描述参数电路中支路电流之间的关系（基尔霍夫电流定律，简称 KCL）与支路电压之间的关系（基尔霍夫电压定律，简称 KVL）。基尔霍夫定律建立在电荷守恒和能量守恒之上，是集总参数电路分析的基础。它并不依赖具体元件的伏安关系，所以既可以用于纯电阻电路，也可以用于包含电容、电感、独立源和受控源的电路。

基尔霍夫电流定律（KCL）

基尔霍夫电流定律（KCL）指出，任意节点上各支路电流的代数和为零：

$$\sum_{k=1}^{n}i_k=0$$

通常情况下，在实际列写方程或表达某一条支路上的电流时，通常用以下表示：

$$\sum_{\text{流入}} i(t)=\sum_{\text{流出}} i(t)$$

实际列式时，先任意规定每一条支路电流的参考方向，再把流入节点的电流和流出节点的电流分别归入正负号。参考方向与真实方向相反并不会导致错误，最后解出的电流为负，只说明实际方向与假定方向相反。

广义 KCL

通常情况下，KCL 常用于节点。但是，它也可以推广到包括数个节点的闭合曲面（因为对于这个曲面来说，你进出的电流也是为 0 的），正所谓百闻不如一见，看一下下面的解释就知道了。

在上图中，对于闭合曲面$S$，有

$$-i_3-i_4-i_5+i_8+i_9=0$$

相当于内部的 $i_6$ 可以不看，具体也可以自行假设做对应的验证。

上面的图是拓扑图，换成电路图也是一个道理，不要认为有元件了这个东西就不能用了。

关于广义 KCL 这个内容还是蛮重要的，在多数情况下我们都会用 KVL 去设参数，善于使用广义 KCL 在很多场景下能帮助我们更快的找到我们要用到的参数。

基尔霍夫电压定律（KVL）

基尔霍夫电压定律指出，沿任意闭合回路绕行一周，各元件电压的代数和为零：

$$\sum u(t)=0,\qquad \forall t$$

列写回路方程时，需要同时确定回路的绕行方向和各元件电压的参考极性。沿绕行方向从负极到正极经过元件，记为电压上升；从正极到负极经过元件，记为电压下降。只要符号规则前后一致，选择哪一个方向都可以。（说白了就是注意一下参考方向，不要自己计算完之后糊里糊涂的）

关于基尔霍夫定律的一些总结

在常规解题与分析问题的时候，通常情况下，用 KCL 去表示未知量，用 KVL 去列写方程式。善用基本功，你的分析问题的能力会大大的提升。而且通常解题，如果不是题目要求你用回路电流法和节点电压法的话，尽可能的用我们的基本功去进行解题，你会发现基本功真的很好用。

需要注意的是，基尔霍夫定律适用于集总参数模型。当电路尺寸相对于信号波长不可忽略时，电压和电流不再能够简单地视为集中在元件两端，电路需要转而使用分布参数模型。

理想源与受控源的概念

理想独立电压源的端电压由自身规定，与外部电路中的电流无关；理想独立电流源的电流由自身规定，与外部电路中的端电压无关。它们分别表现为

$$u_s=U_s,\qquad i_s=I_s$$

理想电压源的内阻为零，因此不能被强行赋予任意电流；理想电流源的内阻为无穷大，因此不能被强行赋予任意电压。理想模型中的另一个重要结论是：电压为零的理想电压源等效为短路，电流为零的理想电流源等效为开路。

独立源的大小不由电路其他变量控制。受控源的大小则由电路中的某个电压或电流控制，常见形式包括：

$$u=\mu u_x,\qquad u=r i_x,\qquad i=g u_x,\qquad i=\beta i_x$$

其中，控制量可以来自电路中的任意指定支路或端口，比例系数的量纲由受控源类型决定。受控源虽然在图形上有菱形符号，但分析时仍然需要把它当作一个满足约束关系的电压源或电流源。

在叠加定理和求等效电阻时，独立源可以按照规则置零，但受控源通常不能直接关闭。含受控源的网络若要计算等效电阻，需要在端口施加测试电压或测试电流，再用端口电压电流之比求得等效关系。

端口伏安关系（VCR）

端口是电路与外部网络交换能量和信息的接口。一个端口由两个端子组成，端口电压是两个端子之间的电压，端口电流则需要结合参考方向来定义。若采用关联参考方向，端口吸收功率为

$$p=ui$$

对于线性一端口网络，端口伏安关系可以写成

$$u=Ri$$

也可以写成

$$i=Gu,\qquad G=\frac{1}{R}$$

其中，$G$被称为电导，由上式可以看出，$G$与$R$互为倒数。

若网络中包含独立源，伏安关系通常是带有常数项的直线；若网络包含非线性元件，端口关系则不再能够用一条直线表示。端口伏安关系是判断等效电路是否成立的直接依据，也是戴维南定理、诺顿定理和二端口参数的共同基础。

如果你学习了戴维南定理和诺顿定理（这两个其实是一个东西），并且彻底掌握了他的内涵，那么你应该能很快的 get 到我的点；如果没有，也没关系，我们看下图即可。

图中，$N$为一个未知网络，现给出了一个端口的伏安关系曲线，通过初中我们学习的一次函数表达式，我们可以很快的列写出来它的一个关系。

$$u=2i-6$$

根据上面的$u=Ri$公式，我们不难发现，$R=2\,\Omega$，那后面的$-6$是什么东西？其实实际上就是$N$网络中的电压源，由于参考方向的存在，电压值为$-6\,\mathrm{V}$。

如果你学过戴维南定理，那么你很快的就可以将其等效为一个电压源和一个电阻的串联的网络；同理，你也可以得到，戴维南和诺顿的等效的过程，实际上就是求解这个一端口网络的端口伏安关系的过程。这个概念很重要，因为后面讲戴维南和诺顿的时候最常用的方法，就是伏安关系一步法。

电路等效

对于结构、元件参数完全不同的两部分电路$B$和$C$，若$B$和$C$具有完全相同的端口伏安关系（VCR），则称$B$和$C$是端口等效的，或称电路$B$和$C$互为等效电路。

互为等效的两部分电路$B$和$C$在电路中可以相互替换，替换前的电路与替换后的电路对任意外部电路$A$中的电压、电流、功率是等效的。习惯上，将这种替换称为电路等效变换。

需要注意的是，我们常说的等效指的是对外等效，对于$B$和$C$内部，你不能把它当作两个完全相同的电路来做分析。这也很好理解，毕竟$B$和$C$内部并不是相同的。

关于电路等效的概念，可以重点归纳为以下三点：

• 电路等效变换的条件是相互替换的两部分电路$B$与$C$具有完全相同的 VCR；
• 电路等效的对象是外部电路$A$（即电路未变化的部分）中的电压、电流、功率；
• 电路等效的目的是简化电路的分析和计算。

电阻电路分析

线性电路

线性性质是线性电路的基本性质。从线性代数中，我们可以知道线性包括两个方面的性质——齐次性（又称比例性）和可加性（又称叠加性）。接下来介绍的两个定理就是围绕着这两个性质的定理。

齐次定理

齐次定理描述了线性电路的齐次性和比例性。定义如下：

对于具有唯一解的线性电路，当只有一个激励源（独立电流源或者独立电压源）作用时，其响应（电路任一处的电压或电流）与激励成正比。

现假设激励是电压源$u_s$，响应是某支路电流$i$，则

$$i=au_s$$

式中， $a$ 为常数，它只与电路结构和元件参数有关，与激励源无关。

叠加定理

叠加定理描述了线性电路的叠加性。定义如下：

对于具有唯一解的线性电路，多个激励源共同作用引起的响应（电路中各处的电流、电压）等于各个激励源单独作用（其他激励源置为零）时所引起的响应之和。

激励源置零/电源置零：激励源指的是理想电源，包括理想电流源和理想电压源。对于电流源置零，是指电流源开路（产生不了电流）；对于电压源置零，是指电压源短路（产生不了电压）。从简单记忆的角度来讲，可以配合电路图记忆：对于理想电源，直接把外面的圆圈去掉就是这个电源置零后的结果。

叠加定理反映了线性电路的基本性质。使用叠加定理时应注意以下几点：

• 当一个或一组独立源作用时，其他独立源均置为零，而电路的结构及所有电阻和受控源不得更动。
• 叠加定理仅适用于线性电路（包括线性时变电路），而不适用于非线性电路。
• 叠加定理只适用于计算电流和电压，而不能直接用于计算功率，因为功率不是电流或电压的一次函数。

一些写在后面话

叠加定理和齐次定理很好的解释了线性电路的基本性质。在使用时这两个定理常常组合使用（理解成混合双打就好了）。在工程应用中，叠加定理和齐次定理能帮助我们处理一些黑盒问题（未知网络问题），我们可以开放一些测试端口来测试这个黑盒当前端口对外可以等效成某个更简单的电路，从而简化电路的分析。

e.g. 下图所示，电路 $N$ 是含有独立源的线性电阻电路。已知：

• 当$u_s=6\,\mathrm{V}$、$i_s=0$时，开路端电压$u_x=4\,\mathrm{V}$；
• 当$u_s=0$、$i_s=4\,\mathrm{A}$时，$u_x=0\,\mathrm{V}$；
• 当$u_s=3\,\mathrm{V}$、$i_s=-2\,\mathrm{A}$时，$u_x=4\,\mathrm{V}$。

求当$u_s=3\,\mathrm{V}$、$i_s=3\,\mathrm{A}$时的$u_x$。

解答：

由齐次定理和叠加定理，得：

$$u=k_1u_s+k_2i_s+u_N$$

其中，$u_N$为$N$中独立源置零时的响应。

联立方程：

$$\begin{cases} 6k_1+u_N=4\\ 4k_2+u_N=0\\ 3k_1-2k_2+u_N=4 \end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases} k_1=\dfrac{1}{3}\\ k_2=-\dfrac{1}{2}\\ u_N=2 \end{cases}$$

因此：

$$u=\dfrac{1}{3}u_s-\dfrac{1}{2}i_s+2$$

代入得：

$$u=1.5\,\mathrm{V}$$

通过上面的解答我们可以看出，黑盒问题的本质是设方程，然后直接把参数带进去就可以了，比较粗暴。在复杂问题中可能会混入正弦稳态相关的知识（相量）或者用戴维南/诺顿先进行等效再做进一步的解答。

替代定理

替代定理的核心是：如果某一支路两端的电压和支路电流已经确定，那么可以用一个端口特性相同的理想源替代原支路，而不影响其余电路的电压电流关系。

万变不离其宗，先来看看定义：

在具有唯一解的线性或非线性电路中，若某一支路的电压$u$或（和）电流$i$已知，那么该支路可以用$u_s=u$的电压源替代，或用$i_s=i$的电流源替代。替代后电路其他各处的电压、电流均保持原来的值。

替代和等效是两个不同的概念，替代是用独立电压源或电流源代替已知的电压或电流的支路，在替代前后，被替代支路以外电路的拓扑结构和元件参数不能改变，因为一旦改变，替代支路的电压和电流也将发生变化；而等效是两个具有相同端口伏安特性的电路之间的相互转换，与变换以外电路的拓扑结构和元件参数无关。

替代定理强调的是“对其余部分的等效”。被替代支路内部原有的功率分配、元件电压和元件电流不再由替代电路保留。若只掌握支路电压而没有掌握支路电流，应选择电压源替代；反之亦然，不能用一个没有确定参数的源任意替换支路。

关于替代和等效，你可以理解为：等效是在等效端口的作用下，对外的影响是一样的两个电路；而替代是在不改变外界输入的情况下，对内部电路的一个简化。注意一定要是不改变外界输入的情况下，因为你的替代是在特定输入条件下的简化电路。这个有点绕，但是真正懂了之后就很好理解了。还是不理解的话就反复看看书做做题叭。

等效电源定理（戴维南与诺顿）

对于任意线性一端口网络，在指定端口看来，都可以等效为一个理想电压源和一个电阻串联，这就是戴维南等效；也可以等效为一个理想电流源和一个电阻并联，这就是诺顿等效。

戴维南等效的端口关系为

$$u=u_{\text{Th}}-R_{\text{Th}}i$$

其中，$u_{\text{Th}}$是端口开路电压，$R_{\text{Th}}$是从端口看进去的等效电阻。

诺顿等效的端口关系可以写成

$$i=i_{\text{N}}-G_{\text{N}}u$$

其中，$i_{\text{N}}$是端口短路电流，$G_{\text{N}}$是诺顿等效电导。两种等效之间满足

$$R_{\text{Th}}=R_{\text{N}},\qquad u_{\text{Th}}=i_{\text{N}}R_{\text{Th}}$$

对于只含独立源的电阻网络，可以将独立电压源短路、独立电流源开路后，从端口看进去求$R_{\text{Th}}$。如果网络中含有受控源，不能简单地将受控源置零，而应在端口施加测试电压或测试电流，利用

$$R_{\text{Th}}=\frac{u_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}$$

求得等效关系。也可以先求开路电压和短路电流，再使用

$$R_{\text{Th}}=\frac{u_{\text{oc}}}{i_{\text{sc}}}$$

但必须保证端口关系是线性的，并且符号方向已经统一。

戴维南定理和诺顿定理只保证端口对外等效。连接负载之后，负载中的电压电流可以直接通过等效电路求出，但原网络内部各支路的响应不能由等效模型恢复。

一些理解

戴维南定理和诺顿定理本质上是一个定理，因为戴维南等效的电压源和诺顿等效的电流源是可以通过电源等效来进行相互转化的（这个电源等效是第一章的内容，我觉得太简单了就没写）。所以求戴维南就是求诺顿。当然戴维南和诺顿也有各自擅长的领域的。先说常见解法叭：

直接求解： 通过最简单的电路分压分流以及线性电路的一些性质（齐次与叠加）的方法去进行求解，正常求等效电阻时需要将电源置零。这个方法可以用，但是受限于简单电路（没有受控源的电路）。

开路电压短路电流法： 顾名思义，计算所需等效的端口的开路电压和短路电流，用戴维南等效就是求完之后用欧姆定律将等效电阻求出来，其开路电压就是戴维南等效电源电压；用诺顿就是，短路电流为其诺顿等效电源电流。

伏安特性一步法： 这个是通过端口伏安特性的一个假设，来进行求解的，因为戴维南和诺顿的本质是让你们求端口伏安特性嘛，那我直接把这个伏安特性求出来，然后再进行电路的一个转换不就ok了嘛。

实际上在分析和解题的过程中，用的最多的方法是第三种伏安特性一步法，这个用一个例题来讲清楚具体是怎样进行求解的。

e.g. 下图所示电路，已知电阻$R$的消耗功率为$12\,\mathrm{W}$，求电阻$R$。

解答：

由 KCL 和 KVL，联立，有：

$$\begin{cases} u &= 2\times\left(2+i+0.5\,i_1\right) +2\times\left(2+i\right)+4 \\ i_1 &= -i \end{cases}$$

解得：

$$u=12+3i=u_{\mathrm{oc}}+R_0i$$

画出戴维南等效电路即可作答

$$P=12 =\left(\frac{u_{\mathrm{OC}}}{R_0+R}\right)^2R =\left(\frac{12}{3+R}\right)^2R$$

可解得：

$$R=3\,\Omega$$

最大功率传输定理

当负载连接到戴维南等效电路时，负载获得的功率取决于戴维南电阻和负载电阻的匹配关系。对于直流纯电阻电路，负载获得最大功率的条件是

$$R_L=R_{\text{Th}}$$

若戴维南电压使用有效值表示，则最大功率为

$$P_{\max}=\frac{u_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}$$

这个条件并不意味着负载效率最大。满足最大功率传输时，负载电阻与等效电阻相等，负载功率和内部损耗相等，效率只有百分之五十。它追求的是负载获得的功率，而不是整个系统的能量利用率。

最大功率传输定理常结合电源等效定理进行使用，先简化电路，再讨论负载的最大功率传输问题。

特勒根定理

特勒根定理一

对于任意一个具有$b$条支路、$n$个节点的集中参数电路，设各支路电压和支路电流分别为$u_k$、$i_k$，其中$k=1,2,\cdots,b$。若各支路电压和电流均采用关联参考方向，则对于任意时间$t$，有

$$\sum_{k=1}^{b}u_ki_k=0$$

由于上式求和中的每一项都是同一支路电压和电流的乘积，表示该支路吸收的功率。因此，特勒根定理一是功率守恒的具体体现，故又称为功率定理。

特勒根定理二

对于任意两个拓扑结构完全相同（即图完全相同）、但各支路元件性质任意的集中参数电路$N$和$N'$，设它们的图具有$b$条支路、$n$个节点，且相对应的各支路和各节点编号相同。

设电路$N$和$N'$的支路电压分别为$u_k$和$u'_k$，支路电流分别为$i_k$和$i'_k$，其中$k=1,2,\cdots,b$。若各支路电压和电流均采用关联参考方向，则对于任意时刻$t$，有

$$\sum_{k=1}^{b}u'_ki_k=0$$

同时有

$$\sum_{k=1}^{b}u_ki'_k=0$$

以上两式求和中的每一项，都是一个电路的支路电压与另一个电路相应支路电流的乘积。它具有功率的量纲，但不表示任何支路的功率，称为拟功率。因此，特勒根定理二有时也称为拟功率定理。

互易定理

互易定理描述线性双向网络中激励位置和响应位置交换后的关系。对于一个满足互易条件的网络，在端口$1$施加激励、端口$2$测量响应，和在端口$2$施加同样激励、端口$1$测量响应，得到的传输关系相同。

以阻抗参数为例，互易网络满足

$$z_{12}=z_{21}$$

这表示从端口$1$到端口$2$的传递关系与从端口$2$到端口$1$的传递关系相同。常见的线性电阻、电感、电容以及理想变压器网络在满足相应参考方向和模型条件时具有互易性。

互易定理不是所有网络都成立。含有某些受控源、单向器件或非线性器件的网络可能不满足互易条件。因此使用互易关系之前，应先确认网络的线性、双向性和参数约定。

就我个人而言，我觉得互易定理的多数应用是在验证这个二端口网络（后面会讲）的一个互易性；可能后面有了更深的理解会把这一部分的内容给再进行一定的补充。从证明的角度来说，可用特勒根定理进行证明；形式上来说，常见的有三种形式（重点应该会放在后面的二端口网络去讲，二端口网络中的互易性看起来会更清晰一点，现在理解一下概念好了）

动态电路

电容及其模型

电容储存电场能量，其电荷量与端电压满足

$$q(t)=Cu(t),\qquad \forall t$$

因此支路电流为

$$i(t)=\frac{dq(t)}{dt} =C\frac{du(t)}{dt}, \qquad \forall t$$

上式常称为电容元件的伏安关系的微分形式。由上式可以看出，电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比；如果电压不随时间变化，则$i=0$，电容相当于开路，故电容有隔断直流作用。

由电容的 VCR 微分形式，同样可以推出积分形式

$$u(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

电容吸收的瞬时功率为

$$p_C=u_Ci_C=C u_C\frac{du_C}{dt}$$

上式默认其初始值为零。

对功率积分可以得到电容储存的能量：

$$w_C=\frac{1}{2}Cu_C^2$$

在直流稳态下，电容电压不再变化，电流为零，因此理想电容可以等效为开路。但在动态过程中，电容不能被直接当作开路，因为它的电压变化会产生电流。

对于有限电流，电容电压不能发生瞬间跳变。因为

$$u_C(t_2)-u_C(t_1)=\frac{1}{C}\int_{t_1}^{t_2}i_C(t)\,dt$$

若电压在零时间内发生有限跳变，就需要出现冲激电流。通常的开关电路分析默认没有这种理想冲激，因此使用电容电压连续条件。

电感及其模型

电感储存磁场能量，在任一时刻，磁链与电流的关系为

$$\psi(t)=Li(t),\qquad \forall t$$

其端电压与电流变化率满足

$$u(t)=\frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t} =L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}, \qquad \forall t$$

上式也是电感元件 VCR 关系的微分形式，同样也有积分形式，同样默认其初始值为零：

$$i(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

电感吸收的瞬时功率为

$$p_L=u_Li_L=L i_L\frac{di_L}{dt}$$

储存的磁场能量为

$$w_L=\frac{1}{2}Li_L^2$$

在直流稳态下，电感电流不再变化，端电压为零，因此理想电感可以等效为短路。但在动态过程中，电感不能被直接当作短路，因为电流的变化会产生端电压。

对于有限电压，电感电流不能发生瞬间跳变。由

$$i_L(t_2)-i_L(t_1)=\frac{1}{L}\int_{t_1}^{t_2}u_L(t)\,dt$$

可知，有限电压在有限时间内只能改变电流的大小，不能让电流在零时间内产生有限跳变。

关于电容与电感，首先先记牢一件事情：电容上的电压不能突变；电感上的电流不能突变。这两个是电容和电感的基本特性，基于这个特性，我们可以从数学的角度去分析出，电容上的电压是一个关于时间的连续函数（可以从电容的电流公式中去分析这个函数的一个可导性）；电感上的电流同理。此外，我们还可以从这个特性中去发现其物理特性（隔直通交之类的）。

基础动态电路方程求解

动态电路的本质是微分方程。对电阻、电容和电感同时使用基尔霍夫定律，并代入它们的伏安关系，就可以得到关于电容电压或电感电流的微分方程。

以一阶电路为例，方程通常可以整理为

$$\frac{dx(t)}{dt}+\frac{1}{\tau}x(t)=f(t)$$

其中$x(t)$是状态变量，$\tau$是时间常数，$f(t)$表示外部激励。若激励为常值，方程的解由一个指数变化项和一个稳态常值组成。

对于只包含一个电容的电阻网络，时间常数为

$$\tau=R_{\text{eq}}C$$

其中$R_{\text{eq}}$是从电容两端看进去、将独立源置零后得到的等效电阻。

对于只包含一个电感的电阻网络，时间常数为

$$\tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}$$

求动态响应时，不能只看电路的几何结构，还要区分开关动作前后的电路拓扑，并根据开关瞬间的状态连续条件连接两个时间区间。

有关微分方程的求解这里不会有相应的提及，一阶动态电路对应的微分方程是一阶线性微分方程，根据其通解、特解（这个跟下面的初始值与初始状态有关）公式代入即可。当然，如果你学习了信号与系统的相关课程，也可以将电路域的相关模型通过拉普拉斯变换放到 $s$ 域中进行求解。

电路的初始值与初始状态

动态电路的初始值是切换时刻附近状态变量的取值。设开关动作时刻为$t=0$，则电容和电感分别满足

$$u_C(0^+)=u_C(0^-)$$

$$i_L(0^+)=i_L(0^-)$$

其中，$0^-$表示开关动作前的瞬间，$0^+$表示开关动作后的瞬间。左极限由开关前的电路决定，右极限作为开关后微分方程的初始条件。

上述两个式子称为换路定则，最核心的道理是用 $0^-$ 时刻的值去表征 $0^+$ 时刻的值。原理的话就是上面说过的电容与电感的基本特征。

电容电压和电感电流称为状态变量，是因为它们携带了电路过去状态的信息。仅知道开关后的电路结构通常不能确定完整响应，还必须知道状态变量的初始值。

动态电路的响应

我们在上文中有解释过，激励相当于是输入（input），响应相当于是输出（output）（前期可以简单这么理解，实际上没有这么简单就是了）。电路系统当中，响应应该是对任意一个或多个元件的端口的对应的电学物理量。对于动态电路来说，要求响应，就要回到基础动态电路方程中，也就是那个微分方程。

（1）建立电路方程。当 $t>0$ 时，开关已闭合，由 KVL 与电容微分式有

$$\begin{cases} u_R+u_C=U_s\\ i=i_C=C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} \end{cases}$$

故

$$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} +\frac{1}{\tau}u_C =\frac{1}{\tau}U_s \tag{3-1}$$

上式中$\tau=RC$为时间常数

（2）求齐次解$u_{C\mathrm{h}}$

$$s+\frac{1}{\tau}=0$$

其特征根为

$$s=-\frac{1}{\tau}$$

故$u_C$的齐次解为

$$u_{C\mathrm{h}} =Ke^{st} =Ke^{-t/\tau} \tag{3-2}$$

齐次解的函数形式仅由特征根确定，而与激励的函数形式无关（系数与激励有关），故称为 固有响应 或 自由响应；按电路的工作情况，由于齐次解是按照指数规律衰减，当 $t$ 趋近于无穷大时，该项衰减成0，称为暂态响应。

（3）求特解$u_{C\mathrm{p}}$。由于激励$U_s$为常数，故特解也是常数。令

$$u_{C\mathrm{p}}=A$$

将它代入式（3-1），得

$$\frac{1}{\tau}A =\frac{1}{\tau}U_s$$

故得$u_C$的特解为

$$u_{C\mathrm{p}}(t)=A=U_s \tag{3-3}$$

特解与激励具有相同的函数形式，称为强迫响应；按照电路的工作情况来说，特解在任何时刻都保持稳定，同时也可以理解成是 $t$ 趋于无穷大时暂态响应衰减成 0 的响应，称为稳态响应。

（4）完全解。电容电压的完全解为

$$u_C(t) =u_{C\mathrm{h}}(t)+u_{C\mathrm{p}}(t) =Ke^{-t/\tau}+U_s, \qquad t\geq 0$$

式中常数$K$由初始条件确定。当$t=0$时，由上式和给定的初始电压，得

$$u_C(0)=K+U_s=U_0$$

可解得

$$K=U_0-U_s$$

故得完全解

$$u_C(t) =(U_0-U_s)e^{-t/\tau}+U_s, \qquad t\geq 0 \tag{3-4}$$

也成为完全响应，通常简称为全响应。

从上面的步骤来看，全响应为

$$\text{全响应} = \text{固有响应}+\text{强迫响应} = \text{暂态响应}+\text{稳态响应}$$

从微分方程角度看，自然响应来自齐次方程，强迫响应来自外部激励。对于稳定的一阶电路，自然响应随时间指数衰减；对于二阶电路，自然响应可能表现为过阻尼、临界阻尼或欠阻尼。

需要注意的是，固有响应不等于暂态响应；同样，强迫响应也不等于稳态响应。

暂态响应是指将激励接入后，完全响应中短暂时间存在的分量，随着时间的增长，它将逐渐消失；稳态响应就是完全响应中除暂态响应以外的其他部分，它可以是常数或者周期函数。但是如果激励不为周期信号（如 $e^{\alpha t}$，$\alpha>0$ ）或者电路 固有频率 $s$ 有实部为正的值，则将全响应分成暂态响应与稳态响应是没有意义的，因为这时的稳态响应是不存在的（不论是前者还是后者，最后全响应的结果都是按时间的一个递增函数）。

结合电路初始值与初始状态，还可以将全响应分解成零输入响应（$y_{\mathrm{zi}}(t)$, $zi$ 为 $zero input$ 零输入的缩写）和零状态响应（$y_{\mathrm{zs}}(t)$ , $zs$ 为 $zero state$ 零状态的缩写）。零输入响应是外部激励置零、只由初始储能产生的响应；零状态响应是初始状态置零、只由外部激励产生的响应。在线性电路中，全响应等于两者之和：

$$y(t)=y_{\mathrm{zi}}(t)+y_{\mathrm{zs}}(t)$$

如果外部激励为常值，稳定电路最终会趋于新的稳态。最终值由直流稳态电路决定：电容在稳态时看作开路，电感在稳态时看作短路。但这只用于计算最终状态，不能代替整个动态过程。

先做正常的前期运算：

$$u_C(0^-)=3\times 3=9\ \text{V}$$

由换路定则：

$$u_C(0^+)=u_C(0^-)=9\ \text{V}$$

从电容两端看进去，电流源开路，等效电阻为：

$$R_{eq}=3+(6\,\|\,3)=3+2=5\ \Omega$$

$$\tau=R_{eq}C=5\times 0.1=0.5\ \text{s}$$

稳态时电容开路，3 A 流过 $6\,\|\,3=2\ \Omega$：

$$u_C(\infty)=3\times 2=6\ \text{V}$$

零输入响应

我们先顾名思义一下（其实上文也提到了），零输入响应就是没有外部激励的、只由初始储能产生的响应。即要将激励源置零，然后再进行分析。下面是零输入响应的计算公式：

$$u_{\mathrm{zi}}(t)=u_C(0^+)\,e^{-t/\tau},\quad t\ge 0$$

对于上面的电路图来说，由于 $u_C(0^+)=u_C(0^-)=9\ \text{V}$ ，电流源置零后，代入公式，有

$$u_{\mathrm{zi}}(t)=9e^{-2t}\ \text{V},\quad t\ge 0$$

零状态响应

同样的，零状态响应是初始状态置零、只由外部激励产生的响应。此时动态元件的初始状态置零，外部激励不需要进行额外处理，公式如下：

$$u_{\mathrm{zs}}(t)=u_C(\infty)\left(1-e^{-t/\tau}\right),\quad t\ge 0$$

对于上面的电路图来说，带入上述公式，有：

$$u_{\mathrm{zs}}(t)=6\left(1-e^{-2t}\right)\ \text{V},\quad t\ge 0$$

三要素公式

一阶电路的响应可以由三个要素确定：初始值、最终值和时间常数。对任意一阶状态变量 $x(t)$ ，若电路在 $t>0$ 时保持不变且响应稳定，则

$$x(t)=x(\infty)+\big[x(0^+)-x(\infty)\big]e^{-t/\tau},\qquad t\geq 0$$

这个公式中，$x(0^+)$决定曲线从哪里开始，$x(\infty)$决定曲线最终趋向哪里，$\tau$决定变化速度。代入 $t=0$ 可以得到初始值，令 $t\to\infty$ 可以得到最终值，因此公式同时满足两个边界条件。

所以，对于动态电路，可以分为初态（$t = 0^+$ 时刻）与末态（ $t\to\infty$ ）两个状态进行分析，再带入三要素公式即可。

二阶动态电路

二阶动态电路通常含有两个相互独立的储能状态。其齐次方程的特征方程可以写成

$$s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$$

其中，$\alpha$表示衰减程度，$\omega_0$表示无阻尼固有角频率。特征根为

$$s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$$

根据根的类型，响应可以分为三种。

过阻尼时，$\alpha>\omega_0$，两个特征根为不相等的负实根，响应形式为

$$x(t)=A e^{s_1t}+B e^{s_2t}$$

临界阻尼时，$\alpha=\omega_0$，两个特征根重合，响应形式为

$$x(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}$$

欠阻尼时，$\alpha<\omega_0$，特征根为共轭复根。令

$$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$$

则响应形式为

$$x(t)=e^{-\alpha t}\big[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)\big]$$

其中，常数$A$和$B$由两个独立初始条件确定。二阶电路不能只使用一个初始值；通常需要状态变量本身及其一阶导数，或者两个独立状态变量的初值。

对于串联电阻、电感、电容构成的电路，常见参数为

$$\alpha=\frac{R}{2L},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

不同拓扑结构下，$\alpha$的表达式会变化，因此不能把串联电路的阻尼参数直接套用到并联电路。